Matemática discreta Ejemplos

$4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$0$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$4 {(0)}^{3} - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 0$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 \cdot 0 - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

Paso 4.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

Paso 4.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 2 \cdot 0 + 48 (0)$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$0 + 0 + 48 (0)$

Paso 4.1.5

Multiplica $48$ por $0$ .

$0 + 0 + 0$

Paso 4.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 0$

Paso 4.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 5

Como $0$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 0$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x}{x + 0}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(4)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$

	$4$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 2)$ .

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$
	$4$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$
	$4$	$- 2$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 2)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(48)$ .

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$
	$4$	$- 2$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(48)$ por el divisor $(0)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$	$0$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$4 x^{2} + - 2 x + 48$

Paso 6.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$4 x^{2} - 2 x + 48$

Paso 7

Factoriza $2$ de $4 x^{2} - 2 x + 48$ .

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Paso 7.1

Factoriza $2$ de $4 x^{2}$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) - 2 x + 48)$

Paso 7.2

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 48)$

Paso 7.3

Factoriza $2$ de $48$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (24))$

Paso 7.4

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{2}) + 2 (- x)$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2} - x) + 2 (24))$

Paso 7.5

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{2} - x) + 2 (24)$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2} - x + 24))$

Paso 8

Factoriza $2 x$ de $4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x$ .

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Paso 8.1

Factoriza $2 x$ de $4 x^{3}$ .

$2 x (2 x^{2}) - 2 x^{2} + 48 x = 0$

Paso 8.2

Factoriza $2 x$ de $- 2 x^{2}$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x) + 48 x = 0$

Paso 8.3

Factoriza $2 x$ de $48 x$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x) + 2 x (24) = 0$

Paso 8.4

Factoriza $2 x$ de $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x)$ .

$2 x (2 x^{2} - x) + 2 x (24) = 0$

Paso 8.5

Factoriza $2 x$ de $2 x (2 x^{2} - x) + 2 x (24)$ .

$2 x (2 x^{2} - x + 24) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - x + 24 = 0$

Paso 10

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 11

Establece $2 x^{2} - x + 24$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $2 x^{2} - x + 24$ igual a $0$ .

$2 x^{2} - x + 24 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $2 x^{2} - x + 24 = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 11.2.2

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = - 1$ y $c = 24$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 24)}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.3

Simplifica.

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Paso 11.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.3.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 24$ .

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Paso 11.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.3.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $24$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.3.1.3

Resta $192$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.3.1.4

Reescribe $- 191$ como $- 1 (191)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (191)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

Paso 11.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 11.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 24$ .

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Paso 11.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.4.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $24$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.4.1.3

Resta $192$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.4.1.4

Reescribe $- 191$ como $- 1 (191)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (191)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

Paso 11.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}$

Paso 11.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 11.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.5.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 24$ .

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Paso 11.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.5.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $24$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.5.1.3

Resta $192$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.5.1.4

Reescribe $- 191$ como $- 1 (191)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (191)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

Paso 11.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

Paso 11.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (2 x^{2} - x + 24) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

Paso 13